卷积（convolution）和图像滤镜（filter）

本文记录本人对卷积（convolution）和图像滤镜（filter）这两个概念的认识和理解，配合一些测试代码。

第一次听到卷积这个词，还是通过几年前的卷积神经网络（CNN），当时一头雾水。后来不断学习，接触了图像处理，也接触到各种图像滤镜的算法。恍然大悟，卷积就是图像滤镜实现的基础。

卷积其实就是一个这样的动作：将图像中每一个pixel的值进行修改，修改方式为此pixel以及它周围的pixel的weighted sum。每个pixel周围一圈的pixel都要参与计算，每个位置的权重事先确定（filter），或者通过学习（CNN）。由于要计算每个pixel周围所有的pixel，中文翻译中就出现了卷这个字。计算最后再做一个normalization。

上图中间那个小正方形，叫做卷积核（convolution kernel），它存放的是每个pixel的权重。注意，中间那个pixel也要参与计算。上图最后得到的数字是-8，如果这是对图像进行卷积，-8这个值还要正规化（normalization）。

Bloody Details：

• 卷积核的长和宽不需要一定相同，即kernel可以是长方形的，但常见的好像都是正方形的，比如3*3，5*5等；
• 卷积核的长和宽，一定要是奇数；
• 卷积核（滤波器矩阵）所有的元素之和应该要等于1，这是为了保证滤波前后图像的亮度保持不变。当然了，这不是硬性要求了；
• 如果卷积核所有元素之和大于1，那么滤波后的图像就会比原图像更亮，反之，如果小于1，那么得到的图像就会变暗。如果和为0，图像不会变黑，但也会非常暗；（？）
• 对于计算结果的normalization，对于滤波后的结果，可能会出现负数或者大于255的数值。对这种情况，我们将他们直接截断到0和255之间即可。（对于浮点数，小于0的都是0，大于1的都是1，？）
• boundary的处理，有各种方法。比如是3*3的kernel，最外面一圈可以选择不处理，或者直接copy neighbor，或者再外面附一圈值（增加一圈pixel），让convolution计算可以覆盖了最边缘。
• 不同颜色channel的图像（RGB，3个channel），还可以使用不同的核。

如果我没记错，卷积神经网络（CNN），kernel中的权重，是自己学习得到的！这部分暂时不深入了，下面开始记录filter操作。

图片在经过kernel convolution操作之后，每一个pixel的值都发生了变化（除了最边上的那一圈），这种变化的依据来自pixel周围，以及确定的权重。这就是图像的滤镜操作！（这种操作，有的地方叫做线性滤波，卷积核叫做滤波矩阵。）

这里介绍的卷积操作，是线性的，即每个pixel的值都是周围值的线性组合。而且具有平移不变形（shift-invariant），即对每一个不同位置的pixel，使用相同的kernel。这些都是很学术的概念。还有个说法，2D卷积。

下面开始研究不同的kernel，以得到不同的滤镜效果！我们使用scipy.ndimage.convolve接口，用matplotlib显示图像，当然还有必不可少的numpy模块。（matplotlib的imshow接口，可以自动对数据进行normalization操作）

>>> from scipy.ndimage import convolve
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> import matplotlib.image as mpimg
>>> import numpy as np

先看看原始图片的样子：

>>> img = mpimg.imread('dog.png')
>>> img.shape
(400, 400, 4)
>>> dog = img[:,:,:3]
>>> plt.ion()
>>> plt.imshow(dog)
>>> plt.axis('off')

边缘检测，Edge Detect

先试试这个检测所有边缘的卷积核：

>>> edge_detect = np.array(((-1,-1,-1),(-1,8,-1),(-1,-1,-1)))
>>> edge_detect
array([[-1, -1, -1],
       [-1,  8, -1],
       [-1, -1, -1]])

边缘是高频信号，即画面有突变的地方（像素点），上面这个核作用于图像后，中心点与周围一圈相同或接近相同的区域（3*3大小），中心点的值会变成0（或无线接近），而中心点与周围不相同的区域，会得到一个远离0的值。

下面看一下得到的图像：

>>> e = edge_detect
>>> dog1 = convolve(dog, np.dstack((e,e,e)))
>>> plt.imshow(dog1)
Clipping input data to the valid range for imshow with RGB data ([0..1] for floats or [0..255] for integers).
<matplotlib.image.AxesImage object at 0x7f729dd0b700>

Clipping input data to the valid range for imshow with RGB data ([0..1] for floats or [0..255] for integers). 这就是matplotlib默认进行的normalization操作，但具体细节不详。

由于是彩色图像，我们用np.dstack制作一个3维的核用于convolve计算，即图像每个颜色channel用一样的卷积核处理。效果如下：

边缘检测的卷积核很多，下面试试合格水平边缘检测的卷积核：

>>> e2
array([[ 0,  0,  0],
       [-1,  1,  0],
       [ 0,  0,  0]])
>>> dog2 = convolve(dog, np.dstack((e2,e2,e2)))
>>> plt.imshow(dog2)

这个核计算每个像素点与它左边的点的值的差！有人说这就是斜率。效果如下：

我感觉这个图有部分边缘不够清晰，于是用灰度图重新试了一下，代码和效果如下：

>>> e2
array([[ 0,  0,  0],
       [-1,  1,  0],
       [ 0,  0,  0]])
>>> dog3 = convolve(dog[:,:,0], e2)
>>> plt.imshow(dog3, cmap='gray')

这次边缘卡着舒服了一点。有没有注意到边缘的一圈黑线，估计这就是convolve函数对图像boundary的处理特点。

还有5*5的水平边缘检测卷积核：

>>> e3 = np.array(((0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0),(-1,-1,2,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0)))
>>> e3
array([[ 0,  0,  0,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  0,  0],
       [-1, -1,  2,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  0,  0],
       [ 0,  0,  0,  0,  0]])

还有垂直方向，45度叫方向等等各种花样。

浮雕，emboss

>>> f1 = np.array(((-2,-2,0),(-2,6,0),(0,0,0)))
>>> f1
array([[-2, -2,  0],
       [-2,  6,  0],
       [ 0,  0,  0]])
>>> dog5 = convolve(dog, np.dstack((f1,f1,f1)))
>>> plt.imshow(dog5)

以上代码生成的图像效果：

有那么一点点立体的效果。同样，用于emboss效果的核也是各种各样。

模糊，blur

>>> b = np.array(((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)))
>>> b
array([[1, 1, 1],
       [1, 1, 1],
       [1, 1, 1]])

上例的这个全1的kernel，有人说是 box blur。

每个pixel的值，都有周围的值一起取个平均，画面就模糊了。

锐化，sharp

用一个最简单的3*3的锐化核试试效果：

>>> r = np.array(((-1,-1,-1),(-1,9,-1),(-1,-1,-1)))
>>> r
array([[-1, -1, -1],
       [-1,  9, -1],
       [-1, -1, -1]])
>>> dog6 = convolve(dog, np.dstack((r,r,r)))
>>> plt.imshow(dog6/4)

在imshow的时候，我用了dog6/4，如果不这样，得到的图像太亮了！就算这样做了，这个图我感觉也有些不对劲，草地变成了枯黄的颜色。应该是normalization过程除了什么问题，上面代码是使用matplitlib默认的normalization，估计这个默认的方法是有点问题的。anyway，看看这只狗狗的脸和胸口，纹理更加清晰可见，这就是锐化的效果。

测试到这里暂停吧，至少说清楚了图像滤镜和卷积的基本原理。normalization的问题，以后再研究。

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