极坐标和欧拉公式

极坐标的特点是，用长度和角度（直角坐标使用x轴和y轴两个点）来表示二维空间中的点，在极坐标下表示一个复数如下：

$$z=re^{i\theta}$$

r 表示长度（模长），\(\theta\) 表示角度（幅度角，逆时针）

很费解，我是借助著名的欧拉公式来理解的（虽然欧拉公式也无法理解）：

$$e^{i\theta}=\cos{\theta} + i \sin{\theta}$$

欧拉公式提供了一个视角，复数在直角坐标和极坐标的转换方式！并且：

$$\left|e^{i\theta}\right|=\sqrt{(\cos{\theta})^2 + (\sin{\theta})^2}=1$$

因此，复数有两种不同的表达方式，指数形式，实部+虚部形式！这两种方式通过欧拉公式等价！

复数乘法的集合意义，设 \(a=re^{i\theta}, b=se^{i\phi}\)：

$$ab=rse^{i(\theta+\phi)}$$

从这个式子可以看出，复数乘法的含义，就是长度相乘，角度相加（逆时针）！复数的乘法，是一个旋转运动。

再来一个：

$$x=e^{iwt}$$

对时间t进行求导，得到速度：

$$\frac{dx}{dt}=iwe^{iwt}=e^{i\frac{\pi}{2}}we^{iwt}=we^{i(w+\frac{\pi}{2})t}$$

x是逆时针单位圆，匀速旋转，转速在极坐标下，刚好比位置多出来\(\frac{\pi}{2}\)，自己画个图看看就明白，位置的切线方向。w就成了速度，Re(x)就是这个旋转在x轴上的投影！

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