极坐标和欧拉公式

2021年4月26日 / 104次阅读 / Last Modified 2022年8月13日

极坐标的特点是,用长度和角度(直角坐标使用x轴和y轴两个点)来表示二维空间中的点,在极坐标下表示一个复数如下:

$$z=re^{i\theta}$$

r 表示长度(模长),\(\theta\) 表示角度(幅度角,逆时针)

很费解,我是借助著名的欧拉公式来理解的(虽然欧拉公式也无法理解):

$$e^{i\theta}=\cos{\theta} + i \sin{\theta}$$

欧拉公式提供了一个视角,复数在直角坐标和极坐标的转换方式!并且:

$$\left|e^{i\theta}\right|=\sqrt{(\cos{\theta})^2 + (\sin{\theta})^2}=1$$

因此,复数有两种不同的表达方式,指数形式,实部+虚部形式!这两种方式通过欧拉公式等价!

复数乘法的集合意义,设 \(a=re^{i\theta}, b=se^{i\phi}\):

$$ab=rse^{i(\theta+\phi)}$$

从这个式子可以看出,复数乘法的含义,就是长度相乘,角度相加(逆时针)!复数的乘法,是一个旋转运动。

再来一个:

$$x=e^{iwt}$$

对时间t进行求导,得到速度:

$$\frac{dx}{dt}=iwe^{iwt}=e^{i\frac{\pi}{2}}we^{iwt}=we^{i(w+\frac{\pi}{2})t}$$

x是逆时针单位圆,匀速旋转,转速在极坐标下,刚好比位置多出来\(\frac{\pi}{2}\),自己画个图看看就明白,位置的切线方向。w就成了速度,Re(x)就是这个旋转在x轴上的投影!

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    《极坐标和欧拉公式》有1条留言

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    • 麦新杰

      复数还不能完全看成是向量,因为乘法时是模相乘辐角相加,并不是向量的点乘或者叉乘。 [回复]


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