复数基础知识

2021年4月26日 / 18次阅读 / Last Modified 2021年4月26日

数学已经成为我在软件工程师(算法)前进路上的障碍,必须要恶补,本文补充复数,极坐标和欧拉公式相关的知识。

第一次认真讨论这复数的是文艺复兴时期意大利有名的数学家“怪杰”卡丹,他是1545年开始讨论这个数的,当时复数被他称为“诡辩量”。几乎过了100年笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了个名字---虚数。但是又过了140年,欧拉还是说这中数只是存在与“幻想之中”并用i(imaginary,即虚幻的缩写)来表示她的单位。后来德国数学家高斯给出了复数的定义,但他们仍感到这种数虚无缥缈,尽管他们也感到他的作用。1830年高斯详细论述了用直角坐标系上复平面上的点表示复数a+bi,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数。到今天复数已经成为现代数学科技中普遍运用的数学工具之一。如,流体力学、热力学、机翼理论的应用;渗透到代数学、数论、微分方程等数学分支。复数在理论物理、弹性力学、天体力学等方面得到了广泛应用,是现代人才必备的基础知识之一。

文献中似乎更习惯将i写在前面,比如:x+iy

复数的定义:

A complex number takes the form z=x+iy where x and y are real, and i is an imaginary number that satisfies \(i^2=-1\)

一组概念:实部(Re),虚部(Im),纯虚数

复数的加法,就是实部加实部,虚部加虚部,与\(R^2\)空间向量加法一样。

复数的乘法,与多项式乘法一样,只是注意i的处理,设 \(z_1=x_1+iy_1, z_2=x_2+iy_2\)

$$z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+x_2y_1)$$

复数运算法则

复数的绝对值,也与\(R^2\)空间求向量的长度一样:

$$\left|z_1\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$

在python中,我们可以直接进行复数的运算:

>>> a = 1+2j
>>> a
(1+2j)
>>> b = 3+4j
>>> b
(3+4j)
>>> a+b
(4+6j)
>>> a*b
(-5+10j)
>>> abs(a)
2.23606797749979
>>> abs(b)
5.0

每一个复数,都有一个孪生子,称为共轭,complex conjugate,就是把虚部的符号换一下,在图形上看,就是复数对x轴对称的那个数。z1的complex conjugate为 \(\overline{z_1}=x_1-iy_1\)

极坐标的特点是,用长度和角度(直角坐标使用x轴和y轴两个点)来表示二维空间中的点,在极坐标下表示一个复数如下:

$$z=re^{i\theta}$$

r 表示长度(模长),\(\theta\) 表示角度(幅度角,逆时针)

很费解,我是借助著名的欧拉公式来理解的(虽然欧拉公式也无法理解):

$$e^{i\theta}=\cos{\theta} + i \sin{\theta}$$

欧拉公式提供了一个视角,复数在直角坐标和极坐标的转换方式!并且:

$$\left|e^{i\theta}\right|=\sqrt{(\cos{\theta})^2 + (\sin{\theta})^2}=1$$

因此,复数有两种不同的表达方式,指数形式,实部+虚部形式!这两种方式通过欧拉公式等价!

复数乘法的集合意义,设 \(a=re^{i\theta}, b=se^{i\phi}\):

$$ab=rse^{i(\theta+\phi)}$$

从这个式子可以看出,复数乘法的含义,就是长度相乘,角度相加(逆时针)!复数的乘法,是一个旋转运动。

再来一个:

$$x=e^{iwt}$$

对时间t进行求导,得到速度:

$$\frac{dx}{dt}=iwe^{iwt}=e^{i\frac{\pi}{2}}we^{iwt}=we^{i(w+\frac{\pi}{2})t}$$

x是逆时针单位圆,匀速旋转,转速在极坐标下,刚好比位置多出来\(\frac{\pi}{2}\),自己画个图看看就明白,位置的切线方向。w就成了速度,Re(x)就是这个旋转在x轴上的投影!

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本文链接:https://www.pynote.net/archives/3615

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